ספר א, משפט כט
[אם ישר חותך שני ישרים המקבילים זה לזה לזה, אז הזוויות המתחלפות שוות זו לזו, הזוויות המתאימות שוות זו לזו, וסכום הזוויות החד-צדדיות שווה לסכום שתי זוויות ישרות]
כאשר נפל קו ישר על שני קוים ישרים נכחיים, הנה הוא ישים שתי הזויות המומרות שוות, וישים הזוית החיצונה שוה לפנימית אשר תקביל אותה, וישים שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות.
הנה יפול קו הז”ח הישר על שני קוי א”ב ג”ד הישרים הנכחיים.
ואומר שהוא ישים שתי זויות אז”ח דח”ז המומרות שוות.
וישים זוית הז”ב החיצונה שוה לזוית דח”ז הפנימית אשר תקביל אותה.
וישים שתי זויות בז”ח דח”ז הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות.
הנה אם היתה זוית אז”ח בלתי שוה לזוית דח”ז, הנה אחת מהן גדולה מהאחרת.
ותהיה זוית אז”ח גדולה מזוית זח”ד, אם יהיה אפשר זה.
ונשים זוית בז”ח משותפת.
הנה שתי זויות אז”ח בז”ח גדולות משתי זויות בז”ח זח”ד.
אבל שתי זויות אז”ח בז”ח שוות לשתי נצבות.
אם כן זויות בז”ח זח”ד קטנות משתי נצבות.
והקוים הישרים שהוצאו בפחות משתי זויות נצבות ויתרחקו אל לא תכלית, הנה הם יפגשו.
הנה שני קוי א”ב ג”ד, אם יוצאו אל לא תכלית, יפגשו.
ואלו השני קוים לא יפגשו, לפי שא”ב נכחי לג”ד.
הנה אין זוית אז”ח בלתי שוה לזוית דח”ז, אבל היא אם כן שוה אליה, והן שתי הזויות המומרות.
אבל זוית אז”ח שוה לזוית הז”ב, מפני שהן נכחיות.
אם כן זוית הז”ב החיצונה שוה לזוית דח”ז הפנימית אשר תקביל אותה.
ונשים זוית בז”ח משותפת.
הנה שתי זויות הז”ב בז”ח שוות לשתי זויות בז”ח זח”ד.
אבל שתי זויות בז”ח הז”ב שוות לשתי נצבות.
אם כן שתי זויות בז”ח זח”ד שוות לשתי נצבות.
הנה כאשר נפל קו ישר על שני קוים ישרים נכחיים, הנה הוא ישים שתי הזויות המומרות שוות, וישים הזוית החיצונה שוה לפנימית אשר תקביל אותה, וישים שתי הזויות הפנימיות אשר בצד אחד שוות לשתי נצבות.
ונשלם באורו.
[נפל = נפגש, חתך; נכחי = מקביל; זויות מומרות = זוויות מתאימות; תקביל = מתאימה; נצבות = ישרות; הוצאו = הוארכו; אל לא תכלית = לאינסוף; יפגשו = יחתכו]