ספר א, משפט מד
[בניית מקבילית ששטחה שווה לשטחו של משולש נתון ואחת מזוויותיה שווה לזוית נתונה]
נרצה שנעמיד על קו ישר מונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש מונח שוה זויתו לזוית מונחת ישרת הקוים.
ויהיה הקו הישר המונח א”ב.
והמשולש המונח גד”ה.
והזוית המונחת ישרת הקוים זוית ז’.
ונרצה שנעשה על קו א”ב הישר המונח שטח נכחי הצלעות שוה למשולש גד”ה המונח שוה זויתו לזוית ז’ המונחת ישרת הקוים.
הנה נעמיד שטח נכחי הצלעות עליו חבכ”ט שוה למשולש גד”ה המונח שוה זויתו לזוית ז’ ישרת הקוים.
ויהיה ב”כ ממנו על יושר קו א”ב.
ונשלים שטח לאב”ח נכחי הצלעות.
ונמשיך קו ל”ב.
הנה מפני של”א נכחי לט”כ,
וכבר נפל עליהם קו ל”ט הישר,
יהיו שתי זויות אל”ט לט”כ הפנימיות שוות לשתי נצבות.
אם כן שתי זויות בל”ט לט”כ קטנות משתי זויות נצבות.
והקוים אשר יצאו מפחות משתי זויות נצבות אל לא תכלית – יפגשו.
הנה שני קוי ל”ב ט”כ אם הוצאו אל לא תכלית – יפגשו.
ונוציאם, ויפגשו על נקודת מ’.
ונוציא מנקודת מ’ קו נכחי לשני קוי ב”א ל”ט, והוא מ”נ.
ונוציא שני קוי א”נ ב”ס על יושר שני קוי ל”א ח”ב.
הנה מפני של”נ נכחי למ”ט,
ומ”נ נכחי אל ל”ט,
יהיה שטח נמט”ל נכחי הצלעות.
וקטרו קו ל”מ.
ועל קוטר ל”מ שני שטחי לאב”ח בסמ”כ נכחיי הצלעות.
ושני שטחי אנס”ב חבכ”ט הם המשלימים.
הנה שטח חבכ”ט נכחי הצלעות שוה לשטח אנס”ב נכחי הצלעות.
אבל שטח חבט”כ שוה למשולש גד”ה.
אם כן שטח אנס”ב שוה למשולש גד”ה.
ולפי שזוית חב”כ שוה לזוית אב”ס,
וזוית חב”כ שוה לזוית ז’,
תהיה זוית אב”ס שוה לזוית ז’.
הנה כבר עשינו על קו א”ב הישר המונח שטח אנס”ב נכחי הצלעות שוה למשולש גד”ה המונח, וזוית אב”ס ממנו שוה לזוית ז’ המונחת ישרת הקוים.
וזה מה שרצינו לבאר.
[נעמיד= נבנה; מונח = נתון; שטח נכחי הצלעות = מקבילית; זוית ישרת הקוים = זווית שקרניה ישרות; נעשה = נבנה; על יושר = על הישר שהקטע עליו; נמשיך = נאריך; נכחי = מקביל; זוית נצבת = זוית ישרה; לא תכלית = אינסוף; קוטר = אלכסון; משלימים = מקביליות הנבנות על נקודה שעל אלכסון מקבילית נתונה באמצעות מקבילים מנקודה זו לצלעות המקבילית הנתונה ושאלכסון המקבילית הנתונה אינו עובר בהן]