ספר א, משפט כה
[חפיפת משולשים - צלע-זווית-זווית]
כאשר היו שני משולשים, והיו שתי זויות מאחד מהם שוות לשתי זויות מהאחר, כל אחת לדומה לה, והיה צלע מאחד מהם שוה לצלע מהאחר – אם הצלע אשר תמשך לשתי הזויות לצלע הדומה, ואם אשר יהיה מיתר אחת משתי הזויות השוה להם – הנה שתי הצלעות הנשארות שוות לשתי הצלעות הנשארות, כל אחת לדומה לה, והזוית הנשארת שוה לזוית הנשארת.
הנה יהיו שני משולשים עליהם אב”ג דה”ז.
ויהיו שתי זויות אב”ג אג”ב מהאחד שוות לשתי זויות דה”ז הז”ד מהאחר, כל אחת לדומה לה – ואולם זוית אב”ג לזוית דה”ז, ואולם זוית אג”ב לזוית דז”ה.
ויהיה צלע מאחד מהם שוה לצלע מהאחר.
ויהיו תחלה שני הצלעות השוות מהן – השתי צלעות אשר ימשכו לשתי הזויות השוות, והם ב”ג ה”ז.
ואומר שהצלעות הנשארות שוות לצלעות הנשארות, כל אחת לדומה לה – אולם צלע א”ב לצלע ד”ה, ואולם צלע א”ג לצלע ד”ז.
וזוית בא”ג הנשארת שוה לזוית הד”ז הנשארת.
המופת: שאם לא יהיה צלע א”ב שוה לצלע ד”ה, תהיה אחת מהן ארוכה מהאחרת.
ותהיה ארוכה א”ב, אם אפשר זה.
ונבדיל מקו א”ב קו שוה לקו ד”ה, והוא ב”ח.
ונמשיך ג”ח.
הנה מפני שקו ח”ב שוה לקו ד”ה,
וקו ב”ג לקו ה”ז,
יהיו כל שני קוי ח”ב ב”ג שוים לכל שני קוי ד”ה ה”ז, כל אחד לדומה לו.
וזוית גב”ח שוה לזוית דה”ז.
הנה תושבת ח”ג שוה לתושבת ד”ז.
ומשולש חב”ג שוה למשולש דה”ז.
ושאר הזויות שוות לשאר הזויות, כל אחת לדומה לה, אשר יקוה אותה הצלע השוה לצלע אשר יקוה האחרת – אם זוית בג”ח שוה לזוית הז”ד.
אבל זוית הז”ד כבר היתה שוה לזוית אג”ב.
אם כן זוית אג”ב שוה לזוית בג”ח,
אקסיומה א
הגדולה לקטנה, זה מה שאי אפשר.
הנה אין קו א”ב בלתי שוה לקו ד”ה, אבל הוא שוה אליו.
וקו ב”ג גם כן שוה לקו ה”ז.
הנה כל שני קוי א”ב ב”ג שוים לכל שני קוי ד”ה ה”ז, כל אחד לדומה לו.
וזוית אב”ג שוה לזוית דה”ז.
הנה תושבת א”ג שוה לתושבת ד”ז, ומשולש אב”ג שוה למשולש דה”ז, ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר יקוה אותה הצלע השוה.
הנה זוית בא”ג שוה לזוית הד”ז.
ויהיו גם כן השתי צלעות השוות מצלעות שני משולשי אב”ג דה”ז, הם אשר יקוו אחת מהשתי הזויות השוות, והם א”ב ד”ה.
ואומר ששאר הצלעות שוות לשאר הצלעות, כל אחת לדומה לה – אולם צלע ב”ג לצלע ה”ז, ואולם צלע א”ג לצלע ד”ז.
וזוית בא”ג הנשארת שוה לזוית הד”ז הנשארת.
ואם לא יהיה צלע ב”ג שוה לצלע ה”ז, הנה אחת מהן גדולה מהאחרת.
ותהיה הגדולה ב”ג.
ונבדיל מקו ב”ג קו שוה לקו ה”ז, והוא ב”ט.
ונמשיך קו ט”א.
הנה מפני שקו א”ב שוה לקו ד”ה, וקו ב”ט לקו ה”ז, יהיו כל שני קוי א”ב ב”ט שוים לכל שני קוי ד”ה ה”ז, כל אחד לדומה לו.
וזוית אב”ט שוה לזוית דה”ז.
הנה תושבת א”ט שוה לתושבת ד”ז, ומשולש אב”ט שוה למשולש דה”ז, ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר יקוה אותן הצלע השוה.
הנה זוית בט”א שוה לזוית הז”ד.
אבל זוית הז”ד שוה לזוית אג”ב.
אם כן זוית בט”א שוה לזוית אג”ט,
אקסיומה א
החיצונה לפנימית – זה שקר.
הנה אין קו ב”ג בלתי שוה לקו ה”ז, אבל הוא שוה אליו.
וקו א”ב גם כן שוה לקו ד”ה.
אם כן שני קוי א”ב ב”ג שוים לכל שני קוי ד”ה ה”ז, כל אחד לדומה לו, וזוית אב”ג שוה לזוית דה”ז.
הנה תושבת א”ג שוה לתושבת ד”ז, ומשולש אב”ג שוה למשולש דה”ז, ושאר הזויות שוות לשאר הזויות אשר יקוה אותם הצלע השוה לצלע אשר יקוה האחרת.
הנה זוית בא”ג שוה לזוית הד”ז.
הנה כאשר היו שני משולשים, והיו שתי זויות מאחד מהם שוות לשתי זויות מהאחר, כל אחת לדומה אליה, והיה צלע מאחד מהם שוה לצלע מהאחר – אם הצלע אשר ימשך לשתי הזויות לצלע הדומה לה, ואם הצלע אשר יקוה אחת משתי הזויות לאשר יקוה האחרת השוה אליה – הנה השתי צלעות הנשארות שוות לשתי צלעות הנשארות, כל אחת לדומה אליה, והזוית הנשארת שוה לזוית הנשארת.
ונשלם ביאורו.
[דומה = מתאימה, תמשך = תחבר, מיתר = הצלע מול, נבדיל = נקצה, נמשיך = נאריך; תושבת = בסיס, יקוה = יעמוד מול]